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勾股之学(勾股之学)

勾股之学(勾股之学)

世界著名的网络科普作家塔米姆·安萨利(Tamim Ansary)在其新著(10 Great Scientific Discoveries)中总结了对人类社会发展有重大影响的、最伟大的十个科学发现。这之中,我们有的了如指掌,有的似熟悉的陌生人,但不管怎样,这些跨越了漫长历史时空的科学人物、科学故事,实实在在地能给予我们深刻的感动与启示。

勾股定理是初等几何中的一个基本定理。所谓勾股定理,就是指在直角三角形中,两条直角边的平方和等于斜边的平方。这个定理有十分悠久的历史,几乎所有文明古国(希腊、中国、埃及、巴比伦、印度等)对此定理都有所研究。勾股定理在西方被称为毕达哥拉斯定理,相传是古希腊数学家兼哲学家毕达哥拉斯(Pythagoras,公元前572年?~公元前497年?)(如右图)于公元前550年首先发现的。但毕达哥拉斯对勾股定理的证明方法已经失传。著名的希腊数学家欧几里得(Euclid,公元前330年~公元前275年)在巨著《几何原本》(第Ⅰ卷,命题47)中给出一个很好的证明。 (如下图为欧几里得和他的证明图)

中国古代对这一数学定理的发现和应用,远比毕达哥拉斯早得多。

中国最早的一部数学著作——《周髀算经》的开头(如右图),记载着一段周公向商高请教数学知识的对话:

周公问:“我听说您对数学非常精通,我想请教一下:天没有梯子可以上去,地也没法用尺子去一段一段丈量, 那么怎样才能得到关于天地得到数据呢?”

商高回答说:“数的产生来源于对方和圆这些形体的认识。其中有一条原理:当直角三角形‘矩’得到的一条直角边‘勾’等于3

另一条直角边‘股’等于4的时候,那么它的斜边‘弦’就必定是5。这个原理是大禹在治水的时候就总结出来的呵。”

如果说大禹治水因年代久远而无法确切考证的话,那么周公与商高的对话则可以确定在公元前1100年左右的西周时期, 比毕达哥拉斯要早了五百多年。其中所说的勾3股4弦5,正是勾股定理的一个应用特例(如右图)。 所以现在数学界把它称为勾股定理是非常恰当的。 在稍后一点的《九章算术》一书中(约在公元50至100年间)(如下左图),勾股定理得到了更加规范的一般性表达。书中的《勾股章》说;“把勾和股分别自乘,然后把它们的积加起来,再进行开方,便可以得到弦。”。《九章算术》系统地总结了战国、秦、汉以来的数学成就,共收集了246个数学的应用问题和各个问题的解法,列为九章,可能是所有中国数学著作中影响最大的一部。

中国古代的数学家们不仅很早就发现并应用勾股定理,而且很早就尝试对勾股定理作理论的证明。最早对勾股定理进行证明的,是三国时期吴国的数学家赵爽。赵爽创制了一幅“勾股圆方图”,用形数结合得到方法,给出了勾股定理的详细证明 (如上右图)。在这幅“勾股圆方图”中,以弦为边长得到正方形ABDE是由4个相等的直角三角形再加上中间的那个小正方形组成的。每个直角三角形的面积为ab/2;中间的小正方形边长为b-a,则面积为(b-a)2 。于是便可得如下的式子:

4×(ab/2)+(b-a)2 =c 2

化简后便可得:a 2 +b 2 =c 2

亦即:c=(a 2 +b 2 )(1/2)

赵爽的这个证明可谓别具匠心,极富创新意识。他用几何图形的截、割、拼、补来证明代数式之间的恒等关系,既具严密性,又具直观性,为中国古代以形证数、形数统一、代数和几何紧密结合、互不可分的独特风格树立了一个典范。

以后的数学家大多继承了这一风格并且有发展,只是具体图形的分合移补略有不同而已。例如稍后一点的刘徽在证明勾股定理时也是用以形证数的方法,刘徽(如下左图)用了“出入相补法”即剪内贴证明法,他把勾股为边的正方形上的某些区域剪下来(出),移到以弦为边的正方形的空白区域內(入),结果刚好填满,完全用图解法就解決了问题。(如下右图为刘徽的勾股证明图)

中国古代数学家们对于勾股定理的发现和证明,在世界数学史上具有独特的贡献和地位。尤其是其中体现出来的“形数统一”的思想方法,更具有科学创新的重大意义。

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